Kurva diatas merupakan gambaran dari suatu fungsi f(x).
Pada Pelajaran Matematika SMA ataupun Universitas terdapat suatu subjek yang disebut integral, merupakan bagian dari kalkulus. Salah satu fungsi dari integral adalah untuk mencari luas area dibawah kurva. Akan tetapi, selama pengalaman saya belajar kalkulus tidak ada guru atau dosen yang menyampaikan kenapa luas area dibawah kurva sama dengan integral dari fungsi kurva tersebut. Setelah saya googling pun tidak ada jawaban yang menurut saya cukup memuaskan, baik itu dari situs asing berbahasa inggris ataupun, dari situs Indonesia, mungkin saja ada tapi saya benar-benar tidak menemukannya. Jadi perhitungan berikut ini murni hasil pikiran saya sendiri, jika ada terdapat kesalahan dalam perhitungan saya harap pembaca dapat memberikan komentarnya. Alright then, Mari kita analisis secara bertahap.
Pertama, lakukan dengan cara aproksimasi primitive. Misalkan suatu area dibawah kurva pada gambar 1. Perkiraan luasnya dapat diketahui dengan cara menggambar persegi panjang pada area dibawah kurva tersebut sampai batas sumbu x, persegi panjang tersebut memiliki lebar yang sama yaitu sebesar dx, dx berdasarkan definisinya dari teori diferensial adalah elemen kecil sepanjang sumbu x, elemen kecil ini bisa saja 0.5 satuan panjang atau sebagainya, namun dalam kalkulus panjangnya elemen kecil tersebut mendekati 0. Walaupun lebar persegi panjang tersebut sama yaitu dx namun panjangnya berbeda-beda, perhatikan bahwa panjangnya akan mengikuti nilai dari kurva f(x).
Sehingga Luas satu bagian persegi panjang adalah f(xi) . dx
i = merupakan nilai urutan x, merupakan bilangan bulat positif. misalnya xi untuk i=1 ; x1 = 0.01 ; xi untuk i=2 ; x2 = 0.02
untuk mengetahui nilai luas area maka tinggal ditambahkan untuk semua nilai i
Kalau misalnya susah dimengerti mohon dibaca lagi, perlu kesabaran untuk memahami sesuatu, terutama soal kalkulus dan soal wanita, anda harus ekstra sabar. hmmm
Perhatikan Persamaan diatas, persamaan tersebut memiliki nilai yang sama yaitu dx, maka dx bisa kita keluarkan dari operasi.
Jadikan dalam bentuk sigma:
Selanjutnya mari kita lihat definisi dari integral atau anti derivative suatu fungsi.
Jika kita misalkan fungsi f(x) merupakan turunan dari fungsi g(x) maka:
Semua siswa yang pernah belajar kalkulus tentu akan mengenal bentuk identitas dibawah ini. Namun kenapa bisa seperti itu?
Pembuktian Pers. (8)
Misalkan g(x) merupakan suatu fungsi seperti gambar dibawah ini.
Berdasarkan Teori differensial, dg(x) adalah:
Dan untuk mendapatkan nilai g(x) maka diperlukan suatu fungsi invers yaitu anti-derivative. Sehingga g(x) =
Nilai g(x) juga bisa didapatkan dengan cara mengalikan satu persatu bentuk Pers. (9) dengan dx, seperti ini:
Pers. (10)
Substitusi Pers. (10) ke Pers. (8)
Jika x1 = 0 ; x2 = 1 ; dst...
Perhatikan gambar 2. secara baik-baik, akan terlihat bahwa pemjumlahan diatas akan benar benar sama dengan g(x). Hal ini agak sulit bagi saya menjelaskan dengan kata-kata, namun akan terlihat sangat simple jika pembaca dapat memahami geometri dari persamaan ini.
Karena f(x) merupakan turunan dari g(x), berdasarkan pers. (4), maka integral dari f(x) akan sama dengan g(x)
Maka kita harus membuktikan bahwa:
dari persamaan diatas terlihat jelas bahwa kita harus membuktikan A = g(x)
Substitusikan suatu nilai Xi kedalam turunan fungsi g(x)
Jumlahkan Pers. (15), (16), (17)
Pers. (18)
Kalikan kedua ruas dengan dx
Pers. (19)
Karena pada Pers.(3)
Substitusikan Pers. (3) ke Pers. (19)
Pers. (19)
Substitusikan Pers. (10) ke Pers. (19)
Lihat kembali Pers. (13) maka akan terbukti bahwa :
"Luas area dibawah suatu kurva merupakan integral dari fungsi kurva tersebut"
|
Writer
Andi Tryandi |
Read More :