Differensial atau turunan merupakan dasar pertama dari kalkulus. Kalkulus merupakan Bahasa matematika yang menjelaskan tentang fenomena alam yang mengalami perubahan terhadap fungsi tertentu. Kalkulus sangat berperan penting dalam berbagai hal, baik itu differensial ataupun integral, keduanya sangat berperan penting dalam ilmu fisika, engineering, ekonomi, dan lain-lain. Pada Post kali ini saya akan membahas tentang bagaimana proses lahirnya konsep differensial, atau hal apa yang mendasari teori ini sehingga teori ini dapat dianggap benar.
Untuk memahami differensial, ada beberapa hal yang harus dipahami terlebih dahulu:
Untuk memahami differensial, ada beberapa hal yang harus dipahami terlebih dahulu:
- Jenis-jenis bilangan
- Grafik fungsi 2 dimensi atau untuk yang lebih mendalam butuh 3 dimensi
- Aljabar
- Nilai Mutlak
- Trigonometri
- Limit
Perhatikan Gambar 1. Dimana, Y merupakan fungsi dari x. Besarnya kemiringan(gradien) garis berwarna merah adalah Δy/Δx.
Pada Gambar 2. Terlihat bahwa jika X2 digeser sampai pada X3 , maka, karena Y2 merupakan fungsi x, nilai Y2 berubah menjadi Y3 . karena pergeseran ini membuat nilai Δy dan Δx berubah menjadi Δy’ dan Δx’.
Jika besar X2 diperkecil sampai sangat mendekati X1 , maka nilai Δy dan Δx akan sangat mengecil. Berdasarkan konsep limit kita dapat mendekati sesuatu angka sampai nilainya benar-benar dekat dengan angka tersebut tapi tidak sama dengan angka itu. Misal, limit menuju 8, maka artinya kita menstubtitusikan angka yang benar-benar hampir sama dengan 8, bisa jadi 7.9999999999……01 atau 8.000000000….01 terhadap suatu fungsi yang diketahui.
Yang harus digaris bawahi adalah nilai angka ini tidak benar-benar sama dengan 8.
Untuk kasus differensial, jarak antara X1 dan X2 dibuat menjadi sangat kecil sehingga hampir mendekati 0, namun nilainya tidak sama dengan 0. (Bacaan lebih lanjut : Limit)
Untuk kasus differensial, jarak antara X1 dan X2 dibuat menjadi sangat kecil sehingga hampir mendekati 0, namun nilainya tidak sama dengan 0. (Bacaan lebih lanjut : Limit)
Perhatikan bahwa walaupun nilai Δx dan Δy mendekati 0, namun nilai
Kenapa demikian? Mari kita contohkan misalnya :
Kenapa demikian? Mari kita contohkan misalnya :
Karena nilai Δy/Δx yang tetap ada meskipun Δy dan Δx hampir sama dengan nol, hal ini membuat kita bisa menentukan satu garis yang tepat menyinggung satu titik pada kurva yaitu garis singgung(dalam interval satu bukit atau satu lembah pada kurva fungsi bergelombang)
Maka differensial didefinisikan sebagai kemiringan dari garis singgung kurva pada titik tertentu.
Maka differensial didefinisikan sebagai kemiringan dari garis singgung kurva pada titik tertentu.
Dimana, dx merupakan bagian yang sangat kecil dari x(*mendekati nol)
Misalkan kita punya fungsi f(x) = 3x^3 . Berapakan nilai m f(x) atau kemiringan(gradien) fungsi x atau df(x)/dx atau Df(x)atau turunan f(x) atau f’(x) atau y’?
Jawab :
Df(x) = m f(x) = kemiringan(gradien) fungsi x = df(x)/dx = turunan f(x) = f’(x) = y’
Df(x) = m f(x) = kemiringan(gradien) fungsi x = df(x)/dx = turunan f(x) = f’(x) = y’
Karena pada bagian penyebut terdapat nilai h→0 maka untuk tidak dapat secara langsung kita substitusikan. Jika langsung disubstitusikan akan mendapatkan hasil 0/0 . untuk itu bagilah penyebut dan pembilang dengan h.
Karena sudah tidak ada h pada bagian penyebut, maka bentuk limit ini dapat langsung kita substitusikan.
Lalu mungkin ada yang bertanya, bagaimana dengan rumus turunan? Darimana itu didapatkan?
Rumus ini didapat dengan cara menggunakan solusi murni matematis secara general, jika pada contoh kasus diatas kita memisalkan bahwa
kali ini kita akan mencari hasil turunan untuk semua bilangan, yaitu
Untuk memecahkan kasus ini kita membutuhkan suatu teorema yang disebut Teorema Binomial atau Binomial Theorem.
Karena sama-sama memiliki “a” , keluarkan a dari operasi, menjadi persaman dibawah:
Perhatikan bahwa nilai dari
Substitusikan nilai ini pada persamaan limit.
Maka didapatkan:
Bagi pembilang dan penyebut dengan h,
Perhatikan bahwa hanya suku pertama berwarna biru yang tidak memiliki variable h, untuk yang memiliki variable h, karena nilai h yang disubstitusi adalah nol, maka hasilnya akan sama dengan nol.
Sehingga didapatkan:
Sehingga didapatkan:
Ingat bahwa
Didapatkan persamaan akhir :
Yah, begitu saja sebenarnya, tidak ada yang begitu special. Akan tetapi jika dilihat penerapannya, differensial akan terasa sangat special dan berguna. Differensial merupakan konsep yang menyiratkan bahwa perubahan kecil dalam hidup dapat berpengaruh besar dalam waktu yang lama. Bisa jadi, karena anda membaca artikel ini, masa depan anda menjadi lebih baik, saya harap begitu. Untuk penerapan-penerapan kalkulus saya akan posting lagi setelah ada waktu senggang, masih banyak yang ingin saya tulis di blog ini, semoga pembaca merasa terbantu dan ilmunya semakin bertambah. Terima kasih.
|
Writer
Andi Tryandi |
Read More: