Berikut merupakan beberapa Identitas Trigonometri yang biasa dijumpai di text book SMA maupun text book universitas.
Dengan menggunakan Identitas diatas didapatkan
sin2θ = 1 - cos2 θ ................ (2)
cos2θ = 1 - sin2 θ ................ (3)
Jika kedua ruas pada persamaan (1) dibagi dengan cos2θ maka akan didapatkan
tan2θ + 1 = sec2θ ...............(4)
tan2θ = sec2θ - 1 ..................(5)
Pembuktian Persamaan (6). sin(α+β) = (sin α) (cos β) + (sin β) (cos α)
Perhatikan Gambar 1. terdiri dari 2 buah segitiga besar yaitu segitiga AOQ dan segitiga POQ, dan sebuah segitiga kecil PRQ. Fokuskan perhatian pada ke-3 segitiga ini. Sudut α sama dengan sudut QOA. Karena QR merupakan garis yang sejajar dengan garis OA maka besar sudut OQR = α. Garis PQ dan garis OQ saling tegak lurus, maka PQO = 90° . Karena sudut OQR = α, PQR adalah 90°- α. Garis PB merupakan garis yang tegak lurus dengan garis OA, sehingga sudut PRQ = 90°, berarti sudut RPQ = 180° - (90°- α) - 90° = α. Sudut RPQ = α.
Selanjutnya definisikan nilai sin α, cos α, sin β, cos β
Perhatikan Segitiga OAQ, sin α = AQ/OQ ............... (8)
Perhatikan Segitiga PQR, sin α = RQ/PQ ................. (9)
Perhatikan Segitiga PQR, sin α = RQ/PQ ................. (9)
Perhatikan Segitiga OAQ, cos α = OA/OQ ............... (10)
Perhatikan Segitiga PQR, cos α = PR/PQ ............... (11)
Karena, OA = OB + BA
Maka, cos α = (OB/OQ)+ (BA/OQ)
Perhatikan Bahwa BA = RQ
cos α = (OB/OQ)+ (RQ/OQ) ........... (12)
Perhatikan Segitiga PQR, cos α = PR/PQ ............... (11)
Karena, OA = OB + BA
Maka, cos α = (OB/OQ)+ (BA/OQ)
Perhatikan Bahwa BA = RQ
cos α = (OB/OQ)+ (RQ/OQ) ........... (12)
sin β = PQ/OP ............... (13)
cos β = OQ/OP .............. (14)
Untuk menentukan nilai sin(α+β), Perhatikan Segitiga POB
sin(α+β) = PB/OP ...........(15)
Perhatikan Bahwa PB = PR + RB,dan karena RB = AQ, maka PB = PR + AQ ........ (16)
Perhatikan Bahwa PB = PR + RB,dan karena RB = AQ, maka PB = PR + AQ ........ (16)
Substitusi Pers. (16) ke Pers. (15)
sin(α+β) = PR/OP + AQ/OP ............. (17)
Kalikan PR/OP dengan PQ/PQ, AQ/OP dengan OQ/OQ, karena PQ/PQ = 1 dan OQ/OQ=1 operasi ini dibolehkan karena tidak mengubah nilai. Didapatkan Persamaan baru, yaitu:
sin(α+β) = (PR/PQ)(PQ/OP) + (AQ/OQ)(OQ/OP) ............ (18)
Substitusikan Pers. (11), (13), (8), (14), didapatkan :
sin(α+β) = (cos α) (sin β) + (sin α) (cos β)
sin(α+β) = (sin α) (cos β) + (sin β) (cos α)
TERBUKTI
sin(α+β) = (sin α) (cos β) + (sin β) (cos α)
TERBUKTI
Pembuktian Persamaan (7). sin (α-β) = sin α cos β - cos α sin β
sin (α-β) = sin {α+(-β)} ............. (19)
Substitusikan Pers. (19) ke Pers (6)
sin(α+β) = (sin α) (cos -β) + (sin -β) (cos α)
Dengan mempertimbangkan bahwa nilai sin -β = - sin β, dan cos -β = cos β (Baca Artikel)
(sin α) (cos -β) + (sin -β) (cos α) = (sin α) (cos β) - (sin β) (cos α)
TERBUKTI
TERBUKTI
Pembuktian Persamaan (8). cos(α+β) = cos α cos β - sin α sin β
Perhatikan Segitiga BOP
cos(α+β) = OB/OP
OB = OA - BA = OA - RQ
cos(α+β) = OB/OP = OA/OP - RQ/OP
cos(α+β) = OA/OP - RQ/OP
cos(α+β) = OA/OP - RQ/OP
Kalikan OA/OP dengan OQ/OQ, dan RQ/OP dengan PQ/PQ.
cos(α+β) = OA/OP - RQ/OP
cos(α+β) = (OA/OQ)(OQ/OP) - (RQ/PQ)(PQ/OP) ............ (20)
cos(α+β) = (OA/OQ)(OQ/OP) - (RQ/PQ)(PQ/OP) ............ (20)
Substitusikan Pers. (10), (14), (9), (13) ke Pers. (20)
cos(α+β) = cos α cos β - sin α sin β
TERBUKTI
Pembuktian Persamaan (9). cos(α-β) = cos α cos β + sin α sin β
cos(α-β) = cos {α+(-β)} .............. (21)
Substitusikan Pers. (21) ke Pers. (8)
cos(α-β) = (cos α) (cos -β) - (sin α) (sin -β)
Dengan mempertimbangkan cos (-β) = cos β, dan sin (-β) = - sin β (Baca Artikel)
cos(α-β) = (cos α) (cos β) - (sin α) - (sin β)
cos(α-β) = (cos α) (cos β) + (sin α) (sin β)
cos(α-β) = (cos α) (cos β) + (sin α) (sin β)
TERBUKTI
Jika nilai α = β = θ
sin(θ+θ) = (sin θ) (cos θ) + (sin θ) (cos θ)
sin 2θ = 2 sin θ cos θ ........... (21)
atau bisa juga dinyatakan dalam bentuk, sin θ cos θ = (sin 2θ)/2
sin 2θ = 2 sin θ cos θ ........... (21)
atau bisa juga dinyatakan dalam bentuk, sin θ cos θ = (sin 2θ)/2
cos(θ+θ) = cos θ cos θ - sin θ sin θ
cos 2θ = cos2θ - sin2θ........... (22)
Substitusikan Pers. (2) ke Pers. (22)
cos 2θ = cos2θ - (1 - cos2θ)
cos 2θ = 2 cos2θ - 1 ........... (23)
Substitusikan Pers. (3) ke (22)
cos 2θ = (1 - sin2θ)- sin2θ
cos 2θ = 1 - 2 sin2θ ............ (24)
Jumlahkan Pers. (6) dengan Pers. (7)
sin(α+β) + sin(α-β) = 2 sin α cos β ............................... (24)
Jumlahkan Pers. (8) dengan Pers. (9)
cos(α+β) + cos(α-β) = 2 cos α cos β ........................... (25)
To be Continue....
|
Writer
Andi Tryandi |
Read More :